Der Herr Marquardt ist heute nicht da, deswegen werde ich den vertreten. Mein Name ist Andreas.

Und genau, dann fangen wir mal an. Und zwar heute werden wir uns nochmal um den harmonischen

Oszillator kümmern. Ich glaube in der letzten Stunde habt ihr schon kurz damit angefangen.

Und ich denke ich werde die grundlegenden Sachen nochmal hinschreiben und dann anschließend

weitermachen. Warum wir uns überhaupt nochmal mit dem Oszillator auseinandersetzen ist eigentlich,

weil dieser harmonische Oszillator so extrem wichtig ist und man ziemlich viele Anwendungen

findet. Und zum Beispiel bei meiner eigenen Arbeit ist es so, dass ich mich im Wesentlichen auch

wirklich mit harmonischen Oszillatoren beschäftige. Und ich denke deswegen ist es besonders wichtig,

dass wir uns darum nochmal kümmern. Und das Wesentliche vom harmonischen Oszillator kann

beschrieben werden durch diesen Hamiltonian oder Hamilton-Operator. Wobei das hier wieder der

kinetische Therm ist und das hier potenzielle Energie. Und wie wir rausfinden werden, wenn das

hier das Potenzial ist, ist dass der harmonische Oszillator Eigenenergien hat, die equidistanz

sind und durch h quer Omega im Wesentlichen auseinander separiert sind. Und die Eigenenergien,

wie wir finden werden, sind dann einfach gegeben durch h quer Omega m plus ein halb. Das dürfte

wahrscheinlich bekannt sein, wobei n von 0, 1, 2 und so weiter geht. Der Grundzustand von diesem

Oszillator ist ein Gauss. Das stand glaube ich letztes mal auch schon an der Tafel. Grundzustand,

eine Normierungskonstante und dann hier dieser Gauss, der im Wesentlichen in den Übungen auch

schon ein paar Mal dran war. Und wenn wir jetzt von diesem Gauss den x Quadrat Erwartungswert

ausrechnen, dann stellen wir fest, dass es hier was nicht Verschwindendes gibt. Und dieses x zpf

Quadrat, das nennt sich dann noch Zero-Point-Fluctuations. Genau. In der letzten Stunde

wurde dann ja schon glaube ich angedeutet, dass man auch schon klassisch sich über sowas wie

Erzeuger und Vernichter Gedanken machen kann, indem man dann nämlich klassisch ein Alpha definieren

kann. Dass man so einfach schreiben kann. Und das dürfte den meisten wahrscheinlich schon bekannt

sein. Dieses x Tilde ist einfach hier eine Normierungskonstante, damit die Einheit von

dem Alpha, damit Alpha dimensionslos ist. Und genau, wenn man sich dieses hier anschaut,

sieht das schon irgendwie so aus wie die bekannten Erzeuger und Vernichter aus der Quantenmechanik.

Wobei man hier natürlich eher andersrum denken muss, weil das ist sehr klassisch und wir kommen

ja meist vom klassischen und gehen dann zur Quantenmechanik. Und wenn wir uns jetzt die

Bewegungsgleichen für das Alpha anschauen, also Alpha Punkt, dann überträgt sich die Zeitableitung

einfach auf x und auf den Impuls. Und wenn wir jetzt die klassischen Bewegungsgleichen einsetzen,

dann kommt gerade raus, dass Alpha Punkt gleich minus i Omega Alpha ist. Ich glaube soweit stand

das dann ja auch schon an der Tafel. Und dann können wir die Lösung relativ einfach angeben.

Weil das wird dann einfach nur eine E-Funktion sein, die rotiert. Und das Bild, was dazu an der

Tafel stand, ist, wenn man hier einfach den Realteil von Alpha aufträgt und hier den

Imaginärteil von Alpha, dann sehen wir eigentlich hier schon der Realteil von Alpha ist proportional

zu x und der Imaginärteil von Alpha hat was mit dem Impuls zu tun. Dann wird das im Wesentlichen

einfach nur seine Kreisbahn sein und der Zustand wird dann hier rotieren. Wobei der Winkel einfach

durch Omega t gegeben ist. Zusätzlich, um jetzt zum Beispiel den Zahloperator zu motivieren,

kann man sich dann noch anschauen, was denn das Alpha-Betragsquadrat ist. Weil wenn ich das einfach

nur umschreibe und das eine komplexe Zahl ist, dann schreibe ich ja Alpha Stern mal Alpha,

was sich dann im Wesentlichen zu A Degger A in der Quantenmechanik übersetzen wird. Und dann kann

man sehen, dass ja das Betragsquadrat hier von, weil das hier nur eine Phase ist, konstant in der Zeit

ist. Und wenn wir das Ganze jetzt ausrechnen, dann sehen wir, dass das eigentlich nichts anderes ist

als dieser Ausdruck hier. Und wenn wir jetzt noch die passenden Faktoren rausziehen aus dieser

Klammer, dann sehen wir, dass es im Wesentlichen wieder was mit der Energie zu tun hat.

Aber das hier ist dann einfach wieder die klassische Hamilton-Funktion, die da steht. Und

von hier nach da, das ist halt wirklich nur das Ausklammern. Dann sieht man, dass dieses hier

wirklich proportional zur Energie ist. Okay, soweit war nun das Konzept von den Erzeugern

und Vernichtern in der klassischen Mechanik. Und jetzt wollen wir direkt in die Quantenmechanik

gehen und das übersetzen. Denn da liegt es dann nahe, diese komplexen Zahlen hier zu Operatoren